\(\int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx\) [241]

Optimal result

Integrand size = 22, antiderivative size = 325 \[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=-\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}-\frac {2 (c+d x)^3 \text {arctanh}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4} \]

[Out]

-3/2*I*d*(d*x+c)^2/b^2-1/2*(d*x+c)^3/b-2*(d*x+c)^3*arctanh(exp(2*I*(b*x+a)))/b-3/2*d*(d*x+c)^2*cot(b*x+a)/b^2-
1/2*(d*x+c)^3*cot(b*x+a)^2/b+3*d^2*(d*x+c)*ln(1-exp(2*I*(b*x+a)))/b^3+3/2*I*d*(d*x+c)^2*polylog(2,-exp(2*I*(b*
x+a)))/b^2-3/2*I*d^3*polylog(2,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4-3/2*I*d*(d*x+c)^2*polylog(2,exp(2*I*(b*x+a)))/b^2-3/2*d^2
*(d*x+c)*polylog(3,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^3+3/2*d^2*(d*x+c)*polylog(3,exp(2*I*(b*x+a)))/b^3-3/4*I*d^3*polylog(4,
-exp(2*I*(b*x+a)))/b^4+3/4*I*d^3*polylog(4,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4

Rubi [A] (verified)

Time = 0.92 (sec) , antiderivative size = 325, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 22, number of rules used = 18, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.818, Rules used = {2700, 14, 4505, 6873, 12, 6874, 3801, 3798, 2221, 2317, 2438, 32, 2631, 4268, 2611, 6744, 2320, 6724} \[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=-\frac {2 (c+d x)^3 \text {arctanh}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b} \]

[In]

Int[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x],x]

[Out]

(((-3*I)/2)*d*(c + d*x)^2)/b^2 - (c + d*x)^3/(2*b) - (2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (3*d*(c
+ d*x)^2*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(a + b
*x))])/b^3 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (((3*I)/2)*d^3*PolyLog[2, E^((2*
I)*(a + b*x))])/b^4 - (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog
[3, -E^((2*I)*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/(2*b^3) - (((3*I)/4)*d^
3*PolyLog[4, -E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (((3*I)/4)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 32

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && N
eQ[m, -1]

Rule 2221

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m/(b*f*g*n*Log[F]))*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x]
- Dist[d*(m/(b*f*g*n*Log[F])), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2317

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2438

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, (-c)*e*x^n]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2631

Int[Log[u_]*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*(Log[u]/(b*(m + 1))), x] - Dist[1/
(b*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[(a + b*x)^(m + 1)*(D[u, x]/u), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && Inverse
FunctionFreeQ[u, x] && NeQ[m, -1]

Rule 2700

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/f, Subst[Int[(1 + x^2)^((
m + n)/2 - 1)/x^m, x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{e, f}, x] && IntegersQ[m, n, (m + n)/2]

Rule 3798

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I*((c + d*x)^(m + 1)/(d*(
m + 1))), x] - Dist[2*I, Int[(c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*(E^(2*I*(e + f*x))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x))))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 3801

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(c + d*x)^m*((b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] + (-Dist[b*d*(m/(f*(n - 1))), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 4268

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))]/f), x] + (-Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[d*(m/f), Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 4505

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6744

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[(e + f*x)^m*(PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F])), x] - Dist[f*(m/(b*c*p*Log[F])), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 6873

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

Rule 6874

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {(c+d x)^3 \log (\tan (a+b x))}{b}-(3 d) \int (c+d x)^2 \left (-\frac {\cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {\log (\tan (a+b x))}{b}\right ) \, dx \\ & = -\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {(c+d x)^3 \log (\tan (a+b x))}{b}-(3 d) \int \frac {(c+d x)^2 \left (-\cot ^2(a+b x)+2 \log (\tan (a+b x))\right )}{2 b} \, dx \\ & = -\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {(c+d x)^3 \log (\tan (a+b x))}{b}-\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \left (-\cot ^2(a+b x)+2 \log (\tan (a+b x))\right ) \, dx}{2 b} \\ & = -\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {(c+d x)^3 \log (\tan (a+b x))}{b}-\frac {(3 d) \int \left (-(c+d x)^2 \cot ^2(a+b x)+2 (c+d x)^2 \log (\tan (a+b x))\right ) \, dx}{2 b} \\ & = -\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {(c+d x)^3 \log (\tan (a+b x))}{b}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \cot ^2(a+b x) \, dx}{2 b}-\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \log (\tan (a+b x)) \, dx}{b} \\ & = -\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {\int 2 b (c+d x)^3 \csc (2 a+2 b x) \, dx}{b}-\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \, dx}{2 b}+\frac {\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \cot (a+b x) \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+2 \int (c+d x)^3 \csc (2 a+2 b x) \, dx-\frac {\left (6 i d^2\right ) \int \frac {e^{2 i (a+b x)} (c+d x)}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}-\frac {2 (c+d x)^3 \text {arctanh}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1+e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac {\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}-\frac {2 (c+d x)^3 \text {arctanh}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\left (3 i d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}-\frac {2 (c+d x)^3 \text {arctanh}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {\left (3 d^3\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{2 b^3}-\frac {\left (3 d^3\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{2 b^3} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}-\frac {2 (c+d x)^3 \text {arctanh}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {\left (3 i d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(3,-x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{4 b^4}+\frac {\left (3 i d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(3,x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{4 b^4} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}-\frac {2 (c+d x)^3 \text {arctanh}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Both result and optimal contain complex but leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(1526\) vs. \(2(325)=650\).

Time = 7.00 (sec) , antiderivative size = 1526, normalized size of antiderivative = 4.70 \[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=-\frac {(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {c d^2 e^{i a} \csc (a) \left (2 b^3 e^{-2 i a} x^3+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )-6 b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-6 b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )+6 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )+6 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )\right )}{2 b^3}-\frac {d^3 e^{i a} \csc (a) \left (b^4 e^{-2 i a} x^4+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^3 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^3 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )-6 b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-6 b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )+12 i b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )+12 i b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )+12 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{-i (a+b x)}\right )+12 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{-i (a+b x)}\right )\right )}{4 b^4}+\frac {1}{4} x \left (4 c^3+6 c^2 d x+4 c d^2 x^2+d^3 x^3\right ) \csc (a) \sec (a)-\frac {i c d^2 e^{-i a} \left (2 b^2 x^2 \left (2 b x-3 i \left (1+e^{2 i a}\right ) \log \left (1+e^{-2 i (a+b x)}\right )\right )+6 b \left (1+e^{2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{-2 i (a+b x)}\right )-3 i \left (1+e^{2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{-2 i (a+b x)}\right )\right ) \sec (a)}{4 b^3}-\frac {i d^3 e^{i a} \left (2 b^4 e^{-2 i a} x^4-4 i b^3 \left (1+e^{-2 i a}\right ) x^3 \log \left (1+e^{-2 i (a+b x)}\right )+6 b^2 \left (1+e^{-2 i a}\right ) x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{-2 i (a+b x)}\right )-6 i b \left (1+e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{-2 i (a+b x)}\right )-3 \left (1+e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{-2 i (a+b x)}\right )\right ) \sec (a)}{8 b^4}-\frac {c^3 \sec (a) (\cos (a) \log (\cos (a) \cos (b x)-\sin (a) \sin (b x))+b x \sin (a))}{b \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}+\frac {c^3 \csc (a) (-b x \cos (a)+\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a))}{b \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}+\frac {3 c d^2 \csc (a) (-b x \cos (a)+\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a))}{b^3 \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}-\frac {3 c^2 d \csc (a) \left (b^2 e^{-i \arctan (\cot (a))} x^2-\frac {\cot (a) \left (i b x (-\pi -2 \arctan (\cot (a)))-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 (b x-\arctan (\cot (a))) \log \left (1-e^{2 i (b x-\arctan (\cot (a)))}\right )+\pi \log (\cos (b x))-2 \arctan (\cot (a)) \log (\sin (b x-\arctan (\cot (a))))+i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (b x-\arctan (\cot (a)))}\right )\right )}{\sqrt {1+\cot ^2(a)}}\right ) \sec (a)}{2 b^2 \sqrt {\csc ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}}+\frac {3 \csc (a) \csc (a+b x) \left (c^2 d \sin (b x)+2 c d^2 x \sin (b x)+d^3 x^2 \sin (b x)\right )}{2 b^2}-\frac {3 c^2 d \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \arctan (\tan (a))} x^2+\frac {\left (i b x (-\pi +2 \arctan (\tan (a)))-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 (b x+\arctan (\tan (a))) \log \left (1-e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \arctan (\tan (a)) \log (\sin (b x+\arctan (\tan (a))))+i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt {1+\tan ^2(a)}}\right )}{2 b^2 \sqrt {\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}}-\frac {3 d^3 \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \arctan (\tan (a))} x^2+\frac {\left (i b x (-\pi +2 \arctan (\tan (a)))-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 (b x+\arctan (\tan (a))) \log \left (1-e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \arctan (\tan (a)) \log (\sin (b x+\arctan (\tan (a))))+i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt {1+\tan ^2(a)}}\right )}{2 b^4 \sqrt {\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}} \]

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x],x]

[Out]

-1/2*((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2)/b - (c*d^2*E^(I*a)*Csc[a]*((2*b^3*x^3)/E^((2*I)*a) + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I
)*a))*x^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b*(1
- E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b*(1 - E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] +
(6*I)*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))] + (6*I)*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*
x))]))/(2*b^3) - (d^3*E^(I*a)*Csc[a]*((b^4*x^4)/E^((2*I)*a) + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 - E^((-I)
*(a + b*x))] + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Pol
yLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] + (12*I)*b*(1 - E^(
(-2*I)*a))*x*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))] + (12*I)*b*(1 - E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))] +
12*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[4, -E^((-I)*(a + b*x))] + 12*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[4, E^((-I)*(a + b*x))]))
/(4*b^4) + (x*(4*c^3 + 6*c^2*d*x + 4*c*d^2*x^2 + d^3*x^3)*Csc[a]*Sec[a])/4 - ((I/4)*c*d^2*(2*b^2*x^2*(2*b*x -
(3*I)*(1 + E^((2*I)*a))*Log[1 + E^((-2*I)*(a + b*x))]) + 6*b*(1 + E^((2*I)*a))*x*PolyLog[2, -E^((-2*I)*(a + b*
x))] - (3*I)*(1 + E^((2*I)*a))*PolyLog[3, -E^((-2*I)*(a + b*x))])*Sec[a])/(b^3*E^(I*a)) - ((I/8)*d^3*E^(I*a)*(
(2*b^4*x^4)/E^((2*I)*a) - (4*I)*b^3*(1 + E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 + E^((-2*I)*(a + b*x))] + 6*b^2*(1 + E^((-2*I
)*a))*x^2*PolyLog[2, -E^((-2*I)*(a + b*x))] - (6*I)*b*(1 + E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[3, -E^((-2*I)*(a + b*x))] -
3*(1 + E^((-2*I)*a))*PolyLog[4, -E^((-2*I)*(a + b*x))])*Sec[a])/b^4 - (c^3*Sec[a]*(Cos[a]*Log[Cos[a]*Cos[b*x]
- Sin[a]*Sin[b*x]] + b*x*Sin[a]))/(b*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)) + (c^3*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a
] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)) + (3*c*d^2*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a]
+ Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b^3*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)) - (3*c^2*d*Csc[a]*((b^2*x^2)/E^(I*ArcTan[Cot[a]]) - (
Cot[a]*(I*b*x*(-Pi - 2*ArcTan[Cot[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x - ArcTan[Cot[a]])*Log[1 - E^((2*I
)*(b*x - ArcTan[Cot[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]] - 2*ArcTan[Cot[a]]*Log[Sin[b*x - ArcTan[Cot[a]]]] + I*PolyLog[2,
E^((2*I)*(b*x - ArcTan[Cot[a]]))]))/Sqrt[1 + Cot[a]^2])*Sec[a])/(2*b^2*Sqrt[Csc[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])
+ (3*Csc[a]*Csc[a + b*x]*(c^2*d*Sin[b*x] + 2*c*d^2*x*Sin[b*x] + d^3*x^2*Sin[b*x]))/(2*b^2) - (3*c^2*d*Csc[a]*S
ec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x +
ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x +
ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^2*Sqrt[S
ec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)]) - (3*d^3*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan
[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] +
Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a
]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^4*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

Maple [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1222 vs. \(2 (279 ) = 558\).

Time = 1.83 (sec) , antiderivative size = 1223, normalized size of antiderivative = 3.76

method	result	size
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1223\)

[In]

int((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-3*I*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^4+(2*b*d^3*x^3*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(2*I*(b*x+a))+6*b*c*d^2*x^
2*exp(2*I*(b*x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(2*I*(b*x+a))+6*b*c^2*d*x*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*c^2*d*exp(2*I*(b*x+a))+3*I*d^
3*x^2+2*b*c^3*exp(2*I*(b*x+a))+6*I*c*d^2*x+3*I*c^2*d)/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2-3/4*I*d^3*polylog(4,-exp(2*I*
(b*x+a)))/b^4-3/b*c^2*d*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)*x-3/b*c*d^2*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)*x^2+3/2*I/b^2*d^3*polylog(2,
-exp(2*I*(b*x+a)))*x^2+3/2*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))-6*I/b^3*d^3*x*a-6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,ex
p(I*(b*x+a)))*x-6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+3*I/b^2*c*d^2*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))*x-3/2/b^
3*c*d^2*polylog(3,-exp(2*I*(b*x+a)))+6/b^4*a*d^3*ln(exp(I*(b*x+a)))-3/b^4*a*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+3/b^4*d^3
*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-1/b*d^3*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)*x^3+3/b^3*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/b^3*d^3*ln(1-exp
(I*(b*x+a)))*x-3/2/b^3*d^3*polylog(3,-exp(2*I*(b*x+a)))*x-6/b^3*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/b^3*c*d^2*ln(exp(I*
(b*x+a))-1)+3/b^3*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+3/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/b^2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+
a))-1)+3/b^2*d*c^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-3/b^3*c*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2+1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+1/
b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+3/b*d*c^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+3/b*d*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/b*c*d^2*ln(1-ex
p(I*(b*x+a)))*x^2+3/b*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2-3*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2-3*I/b^2*d*c^2*
polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^2*d*c^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^2*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2-1
/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+1/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3+6/b^3*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x+6/b
^3*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x+1/b*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3+1/b*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^3+6/b^3*c*
d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*c*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^4*d^3*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))+6*
I*d^3*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*I/b^2*d^3*x^2-3*I/b^4*d^3*a^2-3*I/b^4*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-1/b
*c^3*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 3475 vs. \(2 (270) = 540\).

Time = 0.42 (sec) , antiderivative size = 3475, normalized size of antiderivative = 10.69 \[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3 + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos
(b*x + a)*sin(b*x + a) - 3*(-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d - I*d^3 + (I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b^2*
c*d^2*x + I*b^2*c^2*d + I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 3*(I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b
^2*c*d^2*x + I*b^2*c^2*d + I*d^3 + (-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d - I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*di
log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 3*(-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d + (I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*
b^2*c*d^2*x + I*b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 3*(I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b^2*c
*d^2*x + I*b^2*c^2*d + (-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(I*cos(b*x + a) -
sin(b*x + a)) - 3*(I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b^2*c*d^2*x + I*b^2*c^2*d + (-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*
c^2*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 3*(-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2
*d + (I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b^2*c*d^2*x + I*b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 3
*(I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b^2*c*d^2*x + I*b^2*c^2*d + I*d^3 + (-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d - I*
d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 3*(-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d
- I*d^3 + (I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b^2*c*d^2*x + I*b^2*c^2*d + I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin
(b*x + a)) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 + 3*b*c*d^2 - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 +
3*b*c*d^2 + 3*(b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 3*(b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x +
a) + 1) + (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3
*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 + 3*b*
c*d^2 - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 + 3*b*c*d^2 + 3*(b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 3*(b^
3*c^2*d + b*d^3)*x)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^
3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)
+ (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3 - (b^3*d^3*x^3 + 3
*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(I*cos(b*x + a) +
sin(b*x + a) + 1) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3
- (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*cos(b*x + a)^2)*lo
g(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*
b*c*d^2 + a^3*d^3 - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*
cos(b*x + a)^2)*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a
*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3 - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*
b*c*d^2 + a^3*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2
+ 1)*b*c*d^2 - (a^3 + 3*a)*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 + 1)*b*c*d^2 - (a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x +
a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 + 1)*b*c*d^2 - (a^
3 + 3*a)*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 + 1)*b*c*d^2 - (a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(
b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 +
3*a)*d^3 - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d +
b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 3*(b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + (b^3*c^3 - 3*a*b
^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-
cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 3
*a)*d^3 - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d + b*
d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 3*(b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + (b^3*c^3 - 3*a*b^2
*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-co
s(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 6*(-I*d^3*cos(b*x + a)^2 + I*d^3)*polylog(4, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))
- 6*(I*d^3*cos(b*x + a)^2 - I*d^3)*polylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 6*(-I*d^3*cos(b*x + a)^2 + I*d
^3)*polylog(4, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*(I*d^3*cos(b*x + a)^2 - I*d^3)*polylog(4, I*cos(b*x + a) - s
in(b*x + a)) - 6*(I*d^3*cos(b*x + a)^2 - I*d^3)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*(-I*d^3*cos(b*x
+ a)^2 + I*d^3)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 6*(I*d^3*cos(b*x + a)^2 - I*d^3)*polylog(4, -cos
(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*(-I*d^3*cos(b*x + a)^2 + I*d^3)*polylog(4, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 6
*(b*d^3*x + b*c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*(b*d^3
*x + b*c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 6*(b*d^3*x + b*
c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2 -
(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2 - (b*d^3
*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2 - (b*d^3*x + b
*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2
)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(
b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^4*cos(b*x + a)^2 - b^4)

Sympy [F]

\[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=\int \left (c + d x\right )^{3} \csc ^{3}{\left (a + b x \right )} \sec {\left (a + b x \right )}\, dx \]

[In]

integrate((d*x+c)**3*csc(b*x+a)**3*sec(b*x+a),x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*csc(a + b*x)**3*sec(a + b*x), x)

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 5165 vs. \(2 (270) = 540\).

Time = 1.62 (sec) , antiderivative size = 5165, normalized size of antiderivative = 15.89 \[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(c^3*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2 - 1) - log(sin(b*x + a)^2)) - 3*a*c^2*d*(1/sin(b*x + a)^2 + l
og(sin(b*x + a)^2 - 1) - log(sin(b*x + a)^2))/b + 3*a^2*c*d^2*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2 - 1) - lo
g(sin(b*x + a)^2))/b^2 - a^3*d^3*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2 - 1) - log(sin(b*x + a)^2))/b^3 - 2*(1
8*b^2*c^2*d - 36*a*b*c*d^2 + 18*a^2*d^3 - 2*(4*(b*x + a)^3*d^3 + 9*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(b^2*c^2*
d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a) + (4*(b*x + a)^3*d^3 + 9*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(b^2*c^2*d - 2
*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(4*(b*x + a)^3*d^3 + 9*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9
*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-4*I*(b*x + a)^3*d^3 + 9*(-I*b*c*d^2 + I*a
*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 - I*a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(4*I*(b*x + a
)^3*d^3 + 9*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + I*a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b
*x + 2*a))*arctan2(sin(2*b*x + 2*a), cos(2*b*x + 2*a) + 1) + 6*((b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 3*(b*c
*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a) + ((b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d
^2 - 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*
b*x + 4*a) - 2*((b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b
*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*
d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2
*(-I*(b*x + a)^3*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*
a*b*c*d^2 + (-I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + 18*(b*c*d
^2 - a*d^3 + (b*c*d^2 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*b*c*d^2 - I*a*d^3)
*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) - 6*((b
*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a) + ((b*
x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*
b*x + 4*a) - 2*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3
)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d +
2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3
)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x
+ a), -cos(b*x + a) + 1) - 18*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 6*(-2*I*(b
*x + a)^3*d^3 - 3*b^2*c^2*d + 6*a*b*c*d^2 - 3*a^2*d^3 + 3*(-2*I*b*c*d^2 + (2*I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(-I
*b^2*c^2*d + (2*I*a + 1)*b*c*d^2 + (-I*a^2 - a)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^
2 + 4*(b*x + a)^2*d^3 + 3*a^2*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 4*(b*x + a)^2
*d^3 + 3*a^2*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 4*(b*x + a
)^2*d^3 + 3*a^2*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 4*I*(
b*x + a)^2*d^3 + 3*I*a^2*d^3 + 6*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a
*b*c*d^2 - 4*I*(b*x + a)^2*d^3 - 3*I*a^2*d^3 + 6*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^
(2*I*b*x + 2*I*a)) - 18*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 + 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x
+ a) + (b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 + 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x +
4*a) - 2*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 + 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*
x + 2*a) - (-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 - I*(b*x + a)^2*d^3 + (-I*a^2 - I)*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*
x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + I*(b*x + a)^2*d^3 + (I*a^2 + I)*d^3 + 2*(I*b*c*d^2
- I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - 18*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d
^3 + (a^2 + 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + (b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 + 1)*d^
3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 + 1)
*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 - I*(b*x + a)^2*d^3 + (
-I*a^2 - I)*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + I*(b
*x + a)^2*d^3 + (I*a^2 + I)*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a))
- (-4*I*(b*x + a)^3*d^3 - 9*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 - 9*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + I*a^2*d^3)*(b
*x + a) + (-4*I*(b*x + a)^3*d^3 - 9*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 - 9*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + I*a^2
*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(-4*I*(b*x + a)^3*d^3 + 9*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(-I*b^2
*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 - I*a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (4*(b*x + a)^3*d^3 + 9*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*
x + a)^2 + 9*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(4*(b*x + a)^3*d^3 + 9*(b*c*d
^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(2*b*x + 2
*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1) + 3*(-I*(b*x + a)^3*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(-I
*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a) + (-I*(b*x + a
)^3*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (
-I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 -
I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x
+ a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^
3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*((b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 +
3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 +
2*cos(b*x + a) + 1) + 3*(-I*(b*x + a)^3*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2
+ 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a) + (-I*(b*x + a)^3*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^
3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a))*cos(
4*b*x + 4*a) + 2*(I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2
*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3
+ 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) -
2*((b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^
2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 6*(d^3*co
s(4*b*x + 4*a) - 2*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 2*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + d^3)*polylog(4,
-e^(2*I*b*x + 2*I*a)) + 36*(d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 2*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 2*I*d^3*s
in(2*b*x + 2*a) + d^3)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + 36*(d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 2*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^
3*sin(4*b*x + 4*a) - 2*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + d^3)*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) + 3*(3*I*b*c*d^2 + 4*I*(b*x +
a)*d^3 - 3*I*a*d^3 + (3*I*b*c*d^2 + 4*I*(b*x + a)*d^3 - 3*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(-3*I*b*c*d^2 - 4*I*(
b*x + a)*d^3 + 3*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (3*b*c*d^2 + 4*(b*x + a)*d^3 - 3*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(3*b
*c*d^2 + 4*(b*x + a)*d^3 - 3*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(2*I*b*x + 2*I*a)) + 36*(-I*b*c*d^2 - I*(b
*x + a)*d^3 + I*a*d^3 + (-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)
*d^3 - I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(b*c*d^2 + (b*x + a)
*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + 36*(-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3 + (-
I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I*a*d^3)*cos(2*b*x
+ 2*a) + (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x +
2*a))*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + 18*(-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4
*a) + 6*(2*(b*x + a)^3*d^3 - 3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*a^2*d^3 + 3*(2*b*c*d^2 - (2*a - I)*d^3)*(b*x
+ a)^2 + 6*(b^2*c^2*d - (2*a - I)*b*c*d^2 + (a^2 - I*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/(-6*I*b^3*cos(4*b*x
+ 4*a) + 12*I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) + 6*b^3*sin(4*b*x + 4*a) - 12*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - 6*I*b^3))/b

Giac [F]

\[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=\int { {\left (d x + c\right )}^{3} \csc \left (b x + a\right )^{3} \sec \left (b x + a\right ) \,d x } \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*csc(b*x + a)^3*sec(b*x + a), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec (a+b x) \, dx=\text {Hanged} \]

[In]

int((c + d*x)^3/(cos(a + b*x)*sin(a + b*x)^3),x)

[Out]

\text{Hanged}